duagsdiusagduas
Deskripsi Singkat
Universidade Federal de Uberlˆ andia Faculdade de Matem´ atica ´ Disciplina : Algebra Linear (MAT07) - Computa¸c˜ ao Assunto: Subespa¸cos, Bases, Dimens˜ ao, Transforma¸c˜ oes Lineares Prof: Sato a 2 Lista de exerc´ıcios
1. Verificar se as seguintes matrizes geram o espa¸co vetorial M2 (R): 1 0 1 1 0 0 0 1 , , , 0 1 0 0 1 1 1 2
2. Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespa¸cos do R3 : a) U = {(x, y, z) ; x − 2y = 0}; b) V = {(x, y, z) ; x + z = 0 e x − 2y = 0}; c) W = {(x, y, z) ; x + 2y − 3z = 0}; d) U ∩ V ; e) V + W . 3. Encontre um conjunto finito de geradores para o seguinte subespa¸co de M3×1 (R) W = {X ∈ M3×1 (R) ; AX = ∅} , 0 1 0 sendo A = 2 1 0. 1 1 4 4. Mostre que os polinˆ omios (1 − t)3 , (1 − t)2 , (1 − t) e 1 geram o espa¸co dos polinˆ omios de grau ≤ 3. 5. Sejam S e T subconjuntos de um espa¸co vetorial V. Mostre que se S ⊆ T , ent˜ ao [S] ⊆ [T ] . 6. Provar que se S e T s˜ ao subespa¸cos vetoriais de um espa¸co V , ent˜ ao S + T = [S ∪ T ]. 7. Sejam U e W subespa¸cos de um espa¸co vetorial V . Mostre que: (i) U e W est˜ ao contidos em U + W ; (ii) U + W ´e o menor subespa¸co de V contendo U e W , isto ´e, U + W ´e o subespa¸co gerado por U e W : U + W = [U ∪ W ]; 8. Considere os seguintes subespa¸cos do R4 U = (x, y, z, t) ∈ R4 ; x + y = 0 e z − t = 0 W = (x, y, z, t) ∈ R4 ; x − y − z + t = 0
Pede–se: (a) Determine o subespa¸co U ∩ W . (b) Determine um sistema de geradores para o subespa¸co U ∩ W . (c) Determine um sistema de geradores para o subespa¸co U + W . (d) O subespa¸co U + W ´e uma soma direta? Justifique sua resposta.
9. Encontre um vetor em R3 que gere a interse¸c˜ ao de U e W onde U ´e o plano xy: U = {(a, b, 0) ∈ 3 R : a, b ∈ R}, e W ´e o espa¸co gerado pelos vetores (1, 2, 3) e (1, −1, 1). 1
10. Seja V o espa¸co vetorial de todas as fun¸c˜ oes do corpo real R em R. Seja U o subespa¸co das fun¸c˜ oes pares e W o subespa¸co das fun¸c˜ oes ´ımpares. Mostre V = U ⊕ W . 11. Seja V o espa¸co vetorial das matrizes quadradas n × n sobre o corpo R. Sejam U e W os subespa¸cos das matrizes sim´etricas e anti-sim´etricas, respectivamente. Mostre que V = U ⊕ W. 12. Determine se os vetores abaixos s˜ ao linearmente dependentes ou independente: i) u = (1, 3, −1, 4), v = (3, 8, −5, 7) e w = (2, 9, 4, 23); ii) A =
1 −2 3 2 4 −1
iii) u = −t3 + 12 t2 − 16,
, B=
1 −1 4 4 5 −2
, C=
3 −8 7 2 10 −1
;
v = 12 t3 − 14 t2 + 8
iv) u = t3 − 4t2 + 2t + 3, v = t3 + 2t2 + 4t − 1, w = 2t3 − t2 − 3t + 5. 13. Mostrar que o conjunto de vetores {1, x, x2 , 2 + x + 2x2 } de P3 (R) ´e L.D. e que qualquer subconjunto de trˆes elementos dele ´e L.I.. 14. Seja W o subespa¸co do R4 gerado pelos vetores (1, −2, 5, −3), (2, 3, 1, −4) ,(3, 8, −3, −5). (i) Encontre uma base e a dimens˜ ao de W ; (ii) Estenda a base de W a uma base de todo o espa¸co R4 . 15. Sejam V e W os seguintes subespa¸cos do R4 : V = {(a, b, c, d) : b − 2c + d = 0}, W = {(a, b, c, d) : a = d, b = 2c}. Encontre uma base e a dimens˜ ao de (i) V , (ii) W , (iii) V ∩ W . 16. No espa¸co R3 consideremos os seguintes subespa¸cos: U = {(x, y, z) : x = 0}, V = {(x, y, z) : y − 2z = 0} e W = [(1, 1, 0), (0, 0, 2)]. Determinar uma base e a dimens˜ ao de cada um dos seguintes subespa¸cos vetoriais; U , V , W , U ∩ V , V + W , U + V + W . 17. Determinar uma base de R4 que contenha os seguintes vetores (1, 1, 1, 0), (1, 1, 2, 1). 18. Determinar uma base e a dimens˜ ao dos seguintes subespa¸cos vetoriais de Mn (R) : i) subespa¸co das matrizes sim´etricas; ii) subespa¸co das matrizes anti-sim´etricas. 19. Consideremos as duas bases seguintes do R3 : β = {e1 = (1, 1, 1), e2 = (0, 2, 3), e3 = (0, 2, −1)} η = {f1 = (1, 1, 0), f2 = (1, −1, 0), f3 = (0, 0, 1)} (i) Encontre o vetor coordenada de v = (3, 5, −2) em rela¸c˜ ao a cada base:[v]e e [v]f . (ii) Encontre a matriz P cujas linhas s˜ ao respectivamente os vetores coordenadas dos ej em rela¸c˜ ao ` a base η. (iii) Verifique que vale [v]e P = [v]f . 20. Determinar as coordenadas do polinˆ omio 1 + 2t − t3 ∈ P3 (R) em rela¸c˜ ao i) `a base canˆ onica desse espa¸co; ii) `a base {1, 1 − t, 1 − t2 , 1 − t3 }.
2
21. Seja W o espa¸co vetorial das matrizes sim´etricas 2 × 2 sobre R. Encontre o vetor coordenada 4 −11 da matriz A = em rela¸c˜ ao ` a base −11 −7
1 −2 −2 1
2 1 4 −1 , , . 1 3 −1 −5
22. A matriz de mudan¸ca de uma base B de R2 para a base {(1, 1), (0, 2)} desse mesmo espa¸co ´e 1 0 2 3 Determinar a base B. 23. Consideremos as bases B = {e1 , e2 , e3 } e C = {g1 , g2 , g3 } de R3 assim relacionadas: g1 = e1 − e2 − e3 g2 = 2e2 + 3e3 g3 = 3e1 + e3 i) Determinar a matriz de mudan¸ca de base, de B para C e de C para B. ii) Se um vetor u de R3 apresenta coordenadas 1, 2, e 3 em rela¸c˜ ao a B, quais as coordenadas de u relativamente a C. 24. Quais das seguintes aplica¸c˜ oes s˜ ao transforma¸c˜ oes lineares? (a) F : R2 → C (R) (espa¸co vetorial das fun¸c˜ oes reais cont´ınuas definidas em R) dada por: t 2t 2 F (x, y) = xe + ye , ∀(x, y) ∈ R . (b) L(x, y, z) = (2x2 , x, z). (c) T : Mn (R) → Mn (R), dada por T (A) = M A, ∀A ∈ Mn (R), onde M ´e uma matriz fixa em Mn (R). (d) T : Pn (R) → Pn (R), dada por T (p) (t) = tp′ (t), ∀p ∈ Pn (R). 25. Num espa¸co vetorial V sobre R, dado w ∈ V , chama-se transla¸c˜ ao definida por w a aplica¸c˜ ao Tw : V → V tal que Tw (u) = u + w, ∀ u ∈ V . Mostrar que Tw ´e linear se, e somente se, w = ∅. 1 0 0 0 0 0 ao `a base 26. Sejam A = 0 1 0e B = 0 0 0 as matrizes de P e S ∈ L R3 em rela¸c˜ 0 0 0 0 0 1 canˆ onica. (a) mostre que P corresponde geometricamente ` a proje¸c˜ ao ortogonal sobre o plano xy. (b) a que S corresponde geometricamente? (c) encontre (S ◦ P ) (x, y, z) e interprete geometricamente. 27. Seja T ∈ L R3 , que corresponde geometricamente ` a i) rota¸c˜ ao de 45o em torno do eixo Ox no sentido anti-hor´ ario; ii) rota¸c˜ ao de 90o em torno do eixo Oz no sentido hor´ ario; iii) reflex˜ ao em rela¸c˜ ao ao eixo Oy. Em cada um dos casos acima, (a) determinar a lei de forma¸c˜ ao T (x, y, z); 3
(b) obter [T ]B onde B ´e a base canˆ onica de R3 . 28. Seja T ∈ L R3 , R2 com T (1, 0, 0) = (1, 0), T (1, 1, 0) = (1, 1) e T (0, 1, 1) = (1, 0) e seja S a transforma¸c˜ ao linear S : R2 → R3 tal que S(1, 1) = (3, 2, 1) e S(0, −2) = (0, 1, 0). (a) Obtenha [T ]B,C , sendo B = {(1, 2, 1) , (0, 1, 1) , (0, 3, −1)} e C = {(1, 5) , (2, −1)}. (b) Ache [(1, 0, 0)] B e [T (1, 0, 0)] C . (c) Ache a transforma¸c˜ ao linear P : R2 → R2 que P = T ◦ S. 29. Existe um operador linear F : R3 → R3 tal que F (1, 1, 1) = (1, 2, 3), F (1, 2, 3) = (1, 4, 9) e F (2, 3, 4) = (1, 8, 27)? Justifique. 30. Mostrar que F : R3 → R4 dada por F (x, y, z) = (x, x − y, y − z, z) ´e injetora mas n˜ ao 3 4 isomorfismo de R em R . 31. Seja F : U → V uma transforma¸c˜ ao linear com a seguinte propriedade: se {u1 , . . . , un } ´e uma base de U , ent˜ ao {F (u1 ), . . . , F (un )} ´e linearmente independente em V . Prove F ´e injetora. 32. Dados T : U → V linear e injetora e u1 , u2 , ..., uk , vetores L.I. em U ; mostre que {T (u1 ), . . . , T (uk )} ´e L.I.. 33. Considere a transforma¸c˜ ao linear T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (z, x − y, −z), (a) Determine uma base do n´ ucleo de T e sua nulidade. (b) Dˆe o posto da trasnforma¸c˜ ao T . (c) T ´e sobrejetora? Justifique. (d) Faca um esbo¸co de ker T e Im T . ao linear definida por 34. Seja F : R4 → R3 a transforma¸c˜ F (x, y, s, t) = (x − y + s + t, x + 2s − t, x + y + 3s − 3t). (a) Encontre uma base imagem U = Im (F ) de F e determine o posto de F . (b) Encentre uma base para o n´ ucleo W = ker (F ) de F e determine sua nulidade. (c) F ´e uma trasnforma¸c˜ ao sobrejetora? Ela ´e injetora? Justifique. 35. Seja P4 (R) o conjunto dos polinˆ omios com grau menor ou igual a 4, e T : P4 (R) → P2 (R) ′′ dada por f 7−→ f (derivada de segunda ordem). (a) Mostre que T ´e uma transforma¸c˜ ao linear. (b) Determine ker T e Im T . Encontre uma base para cada um destes subespa¸cos vetoriais. (c) T ´e sobrejetora? Ela ´e injetora? Justifique. 36. Seja T : U → V uma transforma¸c˜ ao linear entre espa¸cos vetoriais de dimens˜ ao finita U e V . Mostre que (a) se dim U > dim V , T n˜ ao ´e injetora (b) se dim U < dim V , T n˜ ao ´e sobrejetora. 37. Seja T : U → V uma transforma¸c˜ ao linear entre espa¸cos de mesma dimens˜ ao. Mostre que T ´e injetora se e s´ o se T ´e sobrejetora.
4
Deskripsi
Universidade Federal de Uberlˆ andia Faculdade de Matem´ atica ´ Disciplina : Algebra Linear (MAT07) - Computa¸c˜ ao Assunto: Subespa¸cos, Bases, Dimens˜ ao, Transforma¸c˜ oes Lineares Prof: Sato a 2 Lista de exerc´ıcios
1. Verificar se as seguintes matrizes geram o espa¸co vetorial M2 (R): 1 0 1 1 0 0 0 1 , , , 0 1 0 0 1 1 1 2
2. Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespa¸cos do R3 : a) U = {(x, y, z) ; x − 2y = 0}; b) V = {(x, y, z) ; x + z = 0 e x − 2y = 0}; c) W = {(x, y, z) ; x + 2y − 3z = 0}; d) U ∩ V ; e) V + W . 3. Encontre um conjunto finito de geradores para o seguinte subespa¸co de M3×1 (R) W = {X ∈ M3×1 (R) ; AX = ∅} , 0 1 0 sendo A = 2 1 0. 1 1 4 4. Mostre que os polinˆ omios (1 − t)3 , (1 − t)2 , (1 − t) e 1 geram o espa¸co dos polinˆ omios de grau ≤ 3. 5. Sejam S e T subconjuntos de um espa¸co vetorial V. Mostre que se S ⊆ T , ent˜ ao [S] ⊆ [T ] . 6. Provar que se S e T s˜ ao subespa¸cos vetoriais de um espa¸co V , ent˜ ao S + T = [S ∪ T ]. 7. Sejam U e W subespa¸cos de um espa¸co vetorial V . Mostre que: (i) U e W est˜ ao contidos em U + W ; (ii) U + W ´e o menor subespa¸co de V contendo U e W , isto ´e, U + W ´e o subespa¸co gerado por U e W : U + W = [U ∪ W ]; 8. Considere os seguintes subespa¸cos do R4 U = (x, y, z, t) ∈ R4 ; x + y = 0 e z − t = 0 W = (x, y, z, t) ∈ R4 ; x − y − z + t = 0
Pede–se: (a) Determine o subespa¸co U ∩ W . (b) Determine um sistema de geradores para o subespa¸co U ∩ W . (c) Determine um sistema de geradores para o subespa¸co U + W . (d) O subespa¸co U + W ´e uma soma direta? Justifique sua resposta.
9. Encontre um vetor em R3 que gere a interse¸c˜ ao de U e W onde U ´e o plano xy: U = {(a, b, 0) ∈ 3 R : a, b ∈ R}, e W ´e o espa¸co gerado pelos vetores (1, 2, 3) e (1, −1, 1). 1
10. Seja V o espa¸co vetorial de todas as fun¸c˜ oes do corpo real R em R. Seja U o subespa¸co das fun¸c˜ oes pares e W o subespa¸co das fun¸c˜ oes ´ımpares. Mostre V = U ⊕ W . 11. Seja V o espa¸co vetorial das matrizes quadradas n × n sobre o corpo R. Sejam U e W os subespa¸cos das matrizes sim´etricas e anti-sim´etricas, respectivamente. Mostre que V = U ⊕ W. 12. Determine se os vetores abaixos s˜ ao linearmente dependentes ou independente: i) u = (1, 3, −1, 4), v = (3, 8, −5, 7) e w = (2, 9, 4, 23); ii) A =
1 −2 3 2 4 −1
iii) u = −t3 + 12 t2 − 16,
, B=
1 −1 4 4 5 −2
, C=
3 −8 7 2 10 −1
;
v = 12 t3 − 14 t2 + 8
iv) u = t3 − 4t2 + 2t + 3, v = t3 + 2t2 + 4t − 1, w = 2t3 − t2 − 3t + 5. 13. Mostrar que o conjunto de vetores {1, x, x2 , 2 + x + 2x2 } de P3 (R) ´e L.D. e que qualquer subconjunto de trˆes elementos dele ´e L.I.. 14. Seja W o subespa¸co do R4 gerado pelos vetores (1, −2, 5, −3), (2, 3, 1, −4) ,(3, 8, −3, −5). (i) Encontre uma base e a dimens˜ ao de W ; (ii) Estenda a base de W a uma base de todo o espa¸co R4 . 15. Sejam V e W os seguintes subespa¸cos do R4 : V = {(a, b, c, d) : b − 2c + d = 0}, W = {(a, b, c, d) : a = d, b = 2c}. Encontre uma base e a dimens˜ ao de (i) V , (ii) W , (iii) V ∩ W . 16. No espa¸co R3 consideremos os seguintes subespa¸cos: U = {(x, y, z) : x = 0}, V = {(x, y, z) : y − 2z = 0} e W = [(1, 1, 0), (0, 0, 2)]. Determinar uma base e a dimens˜ ao de cada um dos seguintes subespa¸cos vetoriais; U , V , W , U ∩ V , V + W , U + V + W . 17. Determinar uma base de R4 que contenha os seguintes vetores (1, 1, 1, 0), (1, 1, 2, 1). 18. Determinar uma base e a dimens˜ ao dos seguintes subespa¸cos vetoriais de Mn (R) : i) subespa¸co das matrizes sim´etricas; ii) subespa¸co das matrizes anti-sim´etricas. 19. Consideremos as duas bases seguintes do R3 : β = {e1 = (1, 1, 1), e2 = (0, 2, 3), e3 = (0, 2, −1)} η = {f1 = (1, 1, 0), f2 = (1, −1, 0), f3 = (0, 0, 1)} (i) Encontre o vetor coordenada de v = (3, 5, −2) em rela¸c˜ ao a cada base:[v]e e [v]f . (ii) Encontre a matriz P cujas linhas s˜ ao respectivamente os vetores coordenadas dos ej em rela¸c˜ ao ` a base η. (iii) Verifique que vale [v]e P = [v]f . 20. Determinar as coordenadas do polinˆ omio 1 + 2t − t3 ∈ P3 (R) em rela¸c˜ ao i) `a base canˆ onica desse espa¸co; ii) `a base {1, 1 − t, 1 − t2 , 1 − t3 }.
2
21. Seja W o espa¸co vetorial das matrizes sim´etricas 2 × 2 sobre R. Encontre o vetor coordenada 4 −11 da matriz A = em rela¸c˜ ao ` a base −11 −7
1 −2 −2 1
2 1 4 −1 , , . 1 3 −1 −5
22. A matriz de mudan¸ca de uma base B de R2 para a base {(1, 1), (0, 2)} desse mesmo espa¸co ´e 1 0 2 3 Determinar a base B. 23. Consideremos as bases B = {e1 , e2 , e3 } e C = {g1 , g2 , g3 } de R3 assim relacionadas: g1 = e1 − e2 − e3 g2 = 2e2 + 3e3 g3 = 3e1 + e3 i) Determinar a matriz de mudan¸ca de base, de B para C e de C para B. ii) Se um vetor u de R3 apresenta coordenadas 1, 2, e 3 em rela¸c˜ ao a B, quais as coordenadas de u relativamente a C. 24. Quais das seguintes aplica¸c˜ oes s˜ ao transforma¸c˜ oes lineares? (a) F : R2 → C (R) (espa¸co vetorial das fun¸c˜ oes reais cont´ınuas definidas em R) dada por: t 2t 2 F (x, y) = xe + ye , ∀(x, y) ∈ R . (b) L(x, y, z) = (2x2 , x, z). (c) T : Mn (R) → Mn (R), dada por T (A) = M A, ∀A ∈ Mn (R), onde M ´e uma matriz fixa em Mn (R). (d) T : Pn (R) → Pn (R), dada por T (p) (t) = tp′ (t), ∀p ∈ Pn (R). 25. Num espa¸co vetorial V sobre R, dado w ∈ V , chama-se transla¸c˜ ao definida por w a aplica¸c˜ ao Tw : V → V tal que Tw (u) = u + w, ∀ u ∈ V . Mostrar que Tw ´e linear se, e somente se, w = ∅. 1 0 0 0 0 0 ao `a base 26. Sejam A = 0 1 0e B = 0 0 0 as matrizes de P e S ∈ L R3 em rela¸c˜ 0 0 0 0 0 1 canˆ onica. (a) mostre que P corresponde geometricamente ` a proje¸c˜ ao ortogonal sobre o plano xy. (b) a que S corresponde geometricamente? (c) encontre (S ◦ P ) (x, y, z) e interprete geometricamente. 27. Seja T ∈ L R3 , que corresponde geometricamente ` a i) rota¸c˜ ao de 45o em torno do eixo Ox no sentido anti-hor´ ario; ii) rota¸c˜ ao de 90o em torno do eixo Oz no sentido hor´ ario; iii) reflex˜ ao em rela¸c˜ ao ao eixo Oy. Em cada um dos casos acima, (a) determinar a lei de forma¸c˜ ao T (x, y, z); 3
(b) obter [T ]B onde B ´e a base canˆ onica de R3 . 28. Seja T ∈ L R3 , R2 com T (1, 0, 0) = (1, 0), T (1, 1, 0) = (1, 1) e T (0, 1, 1) = (1, 0) e seja S a transforma¸c˜ ao linear S : R2 → R3 tal que S(1, 1) = (3, 2, 1) e S(0, −2) = (0, 1, 0). (a) Obtenha [T ]B,C , sendo B = {(1, 2, 1) , (0, 1, 1) , (0, 3, −1)} e C = {(1, 5) , (2, −1)}. (b) Ache [(1, 0, 0)] B e [T (1, 0, 0)] C . (c) Ache a transforma¸c˜ ao linear P : R2 → R2 que P = T ◦ S. 29. Existe um operador linear F : R3 → R3 tal que F (1, 1, 1) = (1, 2, 3), F (1, 2, 3) = (1, 4, 9) e F (2, 3, 4) = (1, 8, 27)? Justifique. 30. Mostrar que F : R3 → R4 dada por F (x, y, z) = (x, x − y, y − z, z) ´e injetora mas n˜ ao 3 4 isomorfismo de R em R . 31. Seja F : U → V uma transforma¸c˜ ao linear com a seguinte propriedade: se {u1 , . . . , un } ´e uma base de U , ent˜ ao {F (u1 ), . . . , F (un )} ´e linearmente independente em V . Prove F ´e injetora. 32. Dados T : U → V linear e injetora e u1 , u2 , ..., uk , vetores L.I. em U ; mostre que {T (u1 ), . . . , T (uk )} ´e L.I.. 33. Considere a transforma¸c˜ ao linear T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (z, x − y, −z), (a) Determine uma base do n´ ucleo de T e sua nulidade. (b) Dˆe o posto da trasnforma¸c˜ ao T . (c) T ´e sobrejetora? Justifique. (d) Faca um esbo¸co de ker T e Im T . ao linear definida por 34. Seja F : R4 → R3 a transforma¸c˜ F (x, y, s, t) = (x − y + s + t, x + 2s − t, x + y + 3s − 3t). (a) Encontre uma base imagem U = Im (F ) de F e determine o posto de F . (b) Encentre uma base para o n´ ucleo W = ker (F ) de F e determine sua nulidade. (c) F ´e uma trasnforma¸c˜ ao sobrejetora? Ela ´e injetora? Justifique. 35. Seja P4 (R) o conjunto dos polinˆ omios com grau menor ou igual a 4, e T : P4 (R) → P2 (R) ′′ dada por f 7−→ f (derivada de segunda ordem). (a) Mostre que T ´e uma transforma¸c˜ ao linear. (b) Determine ker T e Im T . Encontre uma base para cada um destes subespa¸cos vetoriais. (c) T ´e sobrejetora? Ela ´e injetora? Justifique. 36. Seja T : U → V uma transforma¸c˜ ao linear entre espa¸cos vetoriais de dimens˜ ao finita U e V . Mostre que (a) se dim U > dim V , T n˜ ao ´e injetora (b) se dim U < dim V , T n˜ ao ´e sobrejetora. 37. Seja T : U → V uma transforma¸c˜ ao linear entre espa¸cos de mesma dimens˜ ao. Mostre que T ´e injetora se e s´ o se T ´e sobrejetora.
4
Lihat lebih banyak...
Komentar
